抛物线的法线公式

抛物线的法线是与抛物线在某一点相切的直线，其斜率与抛物线在该点的切线斜率互为负倒数。对于不同类型的抛物线方程，法线的公式也有所不同。以下是几种常见抛物线方程的法线公式：

1. 一般式 :

$$ y = ax^2 + bx + c $$

法线的斜率是抛物线导数在该点的值的负倒数。首先求导得：

$$ y\' = 2ax + b $$

法线斜率为：

$$ m_{\\text{法线}} = -\\frac{1}{2ax + b} $$

因此，法线方程为：

$$ y - y_1 = m_{\\text{法线}}（x - x_1） $$

其中 \\（ y_1 \\） 是抛物线上一点的 \\（ y \\） 坐标，\\（ x_1 \\） 是对应的 \\（ x \\） 坐标。

2. 顶点式 :

$$ y = a（x - h）^2 + k $$

抛物线的对称轴是 \\（ x = h \\），顶点坐标是 \\（ （h, k） \\）。在顶点处，导数为零，即 \\（ y\' = 2a（x - h） = 0 \\）。因此，法线斜率为无穷大，表示为垂直线：

$$ x = h $$

法线方程为：

$$ x = h $$

3. 交点式（两根式） :

$$ y = a（x - x_1）（x - x_2） $$

其中 \\（ x_1 \\） 和 \\（ x_2 \\） 是抛物线与 \\（ x \\） 轴的交点。法线斜率是：

$$ m_{\\text{法线}} = \\frac{a（x_2 - x_1）}{（x_2 - x_1）（x_1 - x_2）} = \\frac{a}{x_2 - x_1} $$

法线方程为：

$$ y - y_1 = \\frac{a}{x_2 - x_1}（x - x_1） $$

其中 \\（ y_1 \\） 是抛物线上一点的 \\（ y \\） 坐标。

请注意，以上公式适用于抛物线与 \\（ x \\） 轴的交点。如果需要找到与 \\（ y \\） 轴的交点，则需对 \\（ x \\） 进行替换。

以上就是抛物线法线的基本公式。

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